概要
Burgers方程式
$$ \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \tag{1} $$
は非線形な偏微分方程式であるが，Hopf-Cole（又はCole-Hopf）変換という変数変換を用いることで，
線形の拡散方程式に帰着することができる．
Hopf-Cole変換してみた
式(1)を変形すると
$$ – \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{2} u^2 – \nu \frac{\partial u}{\partial x} \right) \tag{2} $$
となり，完全微分方程式の必要十分条件が現れるから
$$ \frac{\partial \phi}{\partial x} = -u, \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{1}{2} u^2 – \nu \frac{\partial u}{\partial x} \tag{3} $$
なるスカラー関数\( \phi (x, t) \)が存在する．この時，式(3)から\( u \)を消去すると，
$$ \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)^2 + \nu \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} \tag{4} $$
が得られる．ここで，（さも天才かのように）\( \phi = 2 \nu \ln{\psi} \)を導入すると，\( \phi (x, t) \)の一回微分は
$$ \phi_x = 2 \nu \frac{\psi_x}{\psi}, \phi_t = 2 \nu \frac{\psi_t}{\psi} \tag{5} $$
二回微分は
$$ \phi_x = 2 \nu \frac{\psi_{xx} \psi – \psi^2}{\psi^2}, \phi_t = 2 \nu \frac{\psi_{tt} \psi – \psi^2}{\psi^2} \tag{6} $$
となるため，式(4)は
$$ 2 \nu \frac{\psi_t}{\psi} = \frac{1}{2} \left( 2 \nu \frac{\psi_x}{\psi} \right)^2 + \nu \left( 2 \nu \frac{\psi_{xx} \psi – \psi^2_x}{\psi^2} \right) \tag{7} $$
となり，これを整理すると
$$ \psi_t = \nu \psi_{xx} \tag{8} $$
と線形の拡散方程式の形に変換できる．
この
$$ u = – 2 \nu \frac{\psi_x}{\psi} \tag{9} $$
を用いた一連の変数変換をHopf-Cole（ホップーコール）変換という
Burgers方程式の初期値問題の解き方
無限領域\( – \infty < x < \infty \)における拡散方程式（式(8)）の初期値問題の解析解は，
$$ \psi(x, t) = \frac{1}{\sqrt{4 \pi \nu t}} \int^{\infty}_{- \infty} \psi_0 (x’) \exp{\left[ – \frac{(x-x’)^2}{4 \nu t} \right]} dx’ \tag{10} $$
である．（\( \psi_0(x)\) は\( \psi(x)\)の初期分布を示す．）
これを使うと，Burgers方程式の解き方は以下の通りになる．
- 与えられた初期条件\( u(x, 0)\)に対応する\( \psi_0(x)\)を式(9)から求める
- 式(10)と\( \psi_0(x)\)を使って，\( \psi(x, t)\)を求める
- 式(9)を使って\( \psi(x, t)\)を変換することにより\( u(x, t)\)を求める
例
初期条件
$$ u = – \frac{2 \nu}{\phi} \frac{\partial \phi}{\partial x} + 4 \tag{11} $$
$$ \phi =\exp{\left( \frac{-x^2}{4 \nu} \right)} + \exp{\left( \frac{-(x-2\pi)^2}{4 \nu} \right)} \tag{12} $$
のとき，解析解は
$$ u = – \frac{2 \nu}{\phi} \frac{\partial \phi}{\partial x} + 4 \tag{13} $$
$$ \phi =\exp{\left( \frac{-(x-4t)^2}{4 \nu (t+1)} \right)} + \exp{\left( \frac{-(x-4t-2 \pi)^2}{4 \nu (t+1)} \right)} \tag{14} $$
で与えられる．
参考文献
- 田中光宏 (2017)．非線形波動の物理，森北出版，p27-28参照
- https://takun-physics.net/9786/
- https://nbviewer.jupyter.org/github/barbagroup/CFDPython/blob/master/lessons/05_Step_4.ipynb