特性曲線法/一次元波動方程式への応用

次は,下のような一次元の波動方程式を特性曲線法で解いてみる.

$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} – c^2 \frac{\partial u}{\partial x} = 0$$

準備

まずは以下のように式変形する

$$ \left(\frac{\partial}{\partial t} – c \frac{\partial}{\partial x}\right) \left(\frac{\partial}{\partial t} + c \frac{\partial}{\partial x} \right) = 0 $$

ここで

$$ \frac{\partial u}{\partial t} – c \frac{\partial u}{\partial x} = 0 $$

$$ \frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = 0 $$

が得られ,後者のみを解くことにする.

 

特性方程式で解く

まずは,特性方程式を立てる.

$$ \frac{dt}{1} =  \frac{dx}{c} = \frac{du}{0}$$

左二つの式に注目すると,

$$ cdt =  dx $$

となるので,両辺を積分する.

$$ \int cdt = \int dx $$

積分定数\( \xi \)を使って整理すると,

$$ x = ct + \xi $$

もちろん分母に0はありえないので

$$ du = 0 $$

積分定数\( \zeta \)を用いて

$$ u = \zeta $$

\( \xi \)と\( \zeta \)には関数の関係があるので,

$$ \zeta = F(\xi)  $$

よって,

$$ u(x, t) = F(x – ct)$$

となる.これは\( x – ct = Const.\)となる直線(これが特性曲線になる)で関数の値が一定になる直線なら全部波動方程式の解になるということを示す.

ここで,\( F(x – ct) \)は任意の関数であり,これは\( u \)の初期分布\( u_0 \)から決定される.

(つまり\( u_0(x) = u(x, 0)\)とすると,\( F(x – ct) \)は\( u_0(x) \)に対応する.)

ここから,目的である\( u(x, t) \)と\( x(t) \)を求める

cの初期分布

$$ c_0(x) = c[u_0(x)] $$

が求まる.

次にx軸上の任意の点P\( (x, t) = (\xi, 0) \)を決めると,Pを通る傾き\( c_0(\xi) \)の直線\( x = \xi + c_0(\xi)t \)が描けてこれが特性曲線となる.

この時,時刻\( t \)における\( u(x, t) \)の波形は,特性曲線の出発点\( x(t = 0) = \xi \)をパラメタとする媒介変数表示

$$ u(x = \xi, t) = u_0(\xi) $$

$$ x(\xi, t) = \xi + c_0(\xi)t $$

で与えられる.

まとめると,

  1. \( u(x, t) \)の初期分布\( u_0(x) \)と速さ\( c_0(x) \)の初期分布を求める
  2. 特性曲線の出発点\( x = \xi \)を決めると,特性曲線\( x = \xi + c_0(\xi)t \)が分かる
  3. 特性曲線を用いると,目的である\( u(x, t) \)と\( x(t) \)を\( \xi \)を用いてパラメタ表示することができる.

 

例(『非線形波動の物理』の例題1.1より)

$$\frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} = 0$$

$$-\infty < x < \infty, t > 0$$

\begin{eqnarray} u = \begin{cases} 0 & ( x \le 0 ) \\ \exp{(-1/x)} & ( x \gt 0 ) \end{cases} \end{eqnarray}

 

上記のような波動方程式を解いて,uの変化を時々刻々追ってみよう.

 

上段はuとxの関係(即ち波形)のスナップショットを下段は特性曲線(出発点が\( x = -2 \)から\( x = 10 \))を描いている.

〇は出発点(今回は\( x = 2 \)),ダイヤは各時点での出発した点の位置を示している.

こうしてみると,特性曲線上では\( u \)の値が不変であるのが確認できる(スゲー!).

これは,先の\( du = 0 \)であることからも確認できるし,以下のようにも理解ができる.

 

特性曲線にそっては,\( t \)の微小変化\( \Delta t \)と\( x \)の微小変化\( \Delta x \)の間に

$$ \Delta x = c \Delta t$$

が成立し(先の\(dx = ct\)に対応している)ているので,微小時間\(\Delta t\)の間の特性曲線にそっての\(u\)の変化ぶん\(\Delta u\)は,

$$ \Delta u = u(x + \Delta x, t + \Delta t) – u(x, t) = \frac{\partial u}{\partial t} \Delta t + \frac{\partial u}{\partial x} \Delta x $$

$$ = \left[ \frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} \right] \Delta t = 0 $$

となるので,\( u \)は特性曲線上では不変である⇒つまり,\( u \)の一定値を輸送しているということ!

次は水文学でおなじみのキネマティックウェーブでもやってみよう・・・

 

参考文献

  • 田中光宏 (2017).非線形波動の物理,森北出版
  • 馬場敬之・高杉豊 (2009).偏微分方程式キャンパスゼミ,マセマ

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